Nació en París, hijo de un general de la armada francesa. Su madre le enseñó a tocar el piano, pero tuvo un leve caso de polio siendo niño y perdió parte de la destreza de pies y piernas. Teniendo dificultades con los pedales del piano, se cambió al cello.

Se graduó en el Conservatorio de París a los 17 años, en 1923. Fue proclamado como "el cellista del futuro" y ganó alabanzas por su virtuosismo y por su técnica de arco.

Alcanzó fama cuando tocó con la Orquesta de Edouard Colonne en 1925, y anduvo de tour por toda Europa. Tocó con muchos de los más prestigiosos y aclamados músicos de su tiempo, y grabó completa las piezas de música de cámara de Brahms y Schubert para la BBC en acetatos. Sin embargo, las mismas se deterioraron antes de que pudieran ser transferidas a un medio más durable.

Fournier dio clases en la École Normale de Musique en París y en el Conservatorio de París desde 1937 s 1949. Hizo su primer tour en los Estados Unidos en 1948 y tocó,...