Es un pianista ruso. Estudió en el Conservatorio de Moscú, y posteriormente con el maestro Dmitri Bashkirov. En la década de los años 70, Alexeev hizo su debut en Londres, Viena, Chicago y Nueva York, y también ganó el Concurso de Piano de Leeds en 1975.1​

Desde 2010, y a fecha de mayo de 2017, enseña en el Royal College of Music de Londres.2​ Es representado por IMG Artists.3​

Su repertorio, parte del cual ha sido grabado, incluye obras de Alexander Scriabin, Robert Schumann, Johannes Brahms, Sergei Prokofiev, Frédéric Chopin, Sergei Rachmaninoff, y Dmitri Shostakovich. También ha colaborado con Barbara Hendricks.